已知如图：正方形ABCD，BE=BD，CE平行于BD，BE交CD于F，求证：DE=DF．

题目

已知如图：正方形ABCD，BE=BD，CE平行于BD，BE交CD于F，求证：DE=DF．

答案

证明：根据对称性质有：BE′=BE=BD；CE′=CE；且∠ECE′=90°．（5分）
故△DCE′绕C点逆时针旋转90°就得到△BCE，（10分）
所以DE'=BE，则△DBE'是正三角形，故∠DBE′=60°．
于是∠CBE′=∠DBE′-∠DBC=15°，（15分）
又∠CBE′=∠EBC=15°，
故∠DBE=30°，
所以∠DEB=75°；（20分）
而∠DFE=∠BFC=90°-∠FBC=75°，
故∠DEB=∠DFE，
所以DE=DF．

根据对称性质有：BE′=BE=BD；CE′=CE；且∠ECE′=90°，可证得△DBE'是正三角形，从而得出∠CBE'=∠EBC=15°，则∠DEB=∠DFE=75°，故得出答案．

本题考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评：本题是一道综合性的题目，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质．