椭圆x^2/4+y^2=1上的点到直线2x-4y-5=0的距离的最大值

题目

椭圆x^2/4+y^2=1上的点到直线2x-4y-5=0的距离的最大值

答案

平移直线2x-4y-5=0形成与直线2x-4y-5=0平行的直线束,与椭圆相切的两条平行直线与原来直线的距离分别为最小距离和最大距离
设形成的平行直线为2x-4y+c=0,联立椭圆和直线方程
x^2/4+y^2=1
x^2/4+[（2x+c）/4]^2=1
整理该方程
8x^2+4cx+c^2-16=0
Δ=16c^2-32(c^2-16)=0,所以c=±1
那么与原来直线平行的两直线方程为2x-4y±1=0
两平行直线的距离为
|±1+5|/根号下（2^2+4^2）=|±1+5|/2√5
所以最大距离为6/2√5=（3√5）/5
最小距离为4/2√5=（2√5）/5
距离的最大值=（3√5）/5