幂级数∑（∞ n=1）（x^n）/n的和函数

题目

幂级数∑（∞ n=1）（x^n）/n的和函数

答案

先将级数 ∑（∞ n=1）（x^n）/n 逐项求导得 d（∑（∞ n=1）（x^n）/n）dx = ∑（∞ n=0）x^n ,当 |x|＜1时该级数收敛,其和函数 S（x）= 1/（1-x）,即 d（∑（∞ n=1）（x^n）/n）dx = S（x）= 1/（1-x）,两端积分得 ∑（∞ n=1）（x^n）/n = -ln（1-x）+ C （C为常数）,然后将 x=0代入式中得 C=0 ,因此得结论 ∑（∞ n=1）（x^n）/n = -ln（1-x）.