已知命题p:方程(2x-a)(x+a)=0的两个根都在[-1,1]上;命题q:对任意实数x,不等式x2+2ax+2a≥0恒成立,若命题“p∧q”是真命题,求a的取值范围.
题目
已知命题p:方程(2x-a)(x+a)=0的两个根都在[-1,1]上;命题q:对任意实数x,不等式x2+2ax+2a≥0恒成立,若命题“p∧q”是真命题,求a的取值范围.
答案
由(2x-a)(x+a)=0得
x=或x=-a,
∴当命题p为真命题时,
−1≤≤1且-1≤-a≤1,
解得-2≤a≤2且-1≤-a≤1,
∴-1≤a≤1,即p:-1≤-a≤1.
又当命题q为真命题时,“对任意实数x,不等式x
2+2ax+2a≥0恒成立”
即抛物线y=x
2+2ax+2a图象在x轴上方或者与x轴只有一个交点,
∴△=4a
2-8a≤0,
∴0≤a≤2,即q:0≤a≤2.
若命题“p∧q”是真命题,则p为真命题且q为真命题,
∴0≤a≤1,即a的取值范围是[0,1].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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