设曲线方程为x=2t+3+arctant y=2-3t+ln(1+t^2) 求曲线在x=3处的切线方程

题目

设曲线方程为x=2t+3+arctant y=2-3t+ln(1+t^2) 求曲线在x=3处的切线方程

答案

先解出t：
令x=3,得3=2t+3+arctant
也即0=2t+arctant
考虑到t=0满足上式,且右边关于t的函数是严格单调递增函数,故t=0是唯一解.
于是切点为(3,2)
切线斜率为
dy/dx |(t=0)=(dy/dt)/(dx/dt) |(t=0)
=[-3+2t/(1+t^2)]/[2+1/(1+t^2)] |(t=0)
=-3/(2+1)=-1
故切线方程为
y-2=(-1)(x-3)
也即
x+y-5=0