设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且有tanA+tanC/3=sinB/cosC. (1)求cosA的值; (2)若b=2,c=3,D为BC上一点.且CD=2DB,求AD的长.
题目
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且有
=.
(1)求cosA的值;
(2)若b=2,c=3,D为BC上一点.且
=2,求AD的长.
答案
(1)∵
=
,
∴
+
=
,
去分母得:3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,
∵sinB≠0,
∴3cosA=1,
∴cosA=
;
(2)∵b=2,c=3,
∴a
2=b
2+c
2-2bccosA=9,
∴|BC|=a=3,
∵
=2
,
∴|DC|=2,cosC=
=
=
,
∴|AD|
2=2
2+2
2-2×2×2cosC=
,
∴|AD|=
.
(1)已知等式左边利用同角三角函数间基本关系切化弦后,去分母整理,利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinB不为0,求出cosA的值即可;
(2)由b,c,cosA的值,利用余弦定理求出a的值,进而确定出|BC|的长,根据
=2
,求出|CD|的长,且利用余弦定理求出cosC的值,在三角形ACD中,利用余弦定理求出|AD|的长即可.
正弦定理;三角函数中的恒等变换应用.
此题考查了余弦定理,同角三角函数间的基本关系,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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