f（x）=1/x^2 在x0=3 的幂级数展开式

题目

f（x）=1/x^2 在x0=3 的幂级数展开式
尽量用间接展开法

答案

f(x)=1/x^2 f(3)=1/9=1!/3^2
f'(x)=-2x^(-3) f'(3)=-2!/3^3
f''(x)=3!x^(-4) f''(3)=3!/3^4
f'''(x)=-4!x^(-5) f'''(3)=-4!/3^5
……
f(n)(x)=(-1)^n*(n+1)!x^(-n-2) f(n)(3)=(-1)^n*(n+1)!/3^(n+2)
……
f(x)=1/x^2=1/3^2-2!/3^3(x-3)+3!/(2!3^4)(x-3)^2-……+（-1）^n*(n+1)!/[n!3^(n+2)](x-3)^n+……
=1/3^2-2/3^3(x-3)+3/3^4(x-3)^2+……+(-1)^n* (n+1)/3^(n+2)(x-3)^n+……
|a(n+1)/a(n)|=(n+2)/3^(n+3)*3^(n+2)/(n+1)-->1/3 ∴R=3 当x=0,x=6时,级数的一般项趋近于无穷大,不趋近于0,所以收敛域为： 0