新梅森质数问题等

题目

新梅森质数问题等
1,如果a=2p-1,其中p是质数,（如a=3,7,31,127.）且3a-3可以被a整除,那么a就是个梅森质数.此命题是否成立?
2,如果a=22t+1,（即2的2的七次方加一）其中t=5,6,7,8,9.则3a-3不能被a整除?
3,除了1和它自身外的其余因数之和仍等于自身的正整数（不完全数）是否存在?
4,首先给出一个任意的正整数x,然后,如果x为偶数就除以2(x/2),如果x为奇数就乘以5再减一(x*5-1)得到一个新的正整数x,称为进行了一次运算,再重复上面的运算多次,x最后是否能变为1?当x为奇数时改为“乘了再加一”时即著名的“3x+1”问题,那么,是否还存在除x*5+1以外的一些函数可以代替3*x+1而使这一问题成立呢?（这些函数称“3x+1函数族”）
上述问题分别称为新梅森质数问题,新费马质数问题,不完全数问题,“5x+1”问题.有谁能告诉我这些问题的答案?谢谢!

答案

问题1、2是不是有问题?若3a-3可以被a整除,那么只有a=1或a=3.问题3：本人还没这本事证明,但本人可以证明出如果存在符合这条件的,那么这些正整数必是完全平方数.可我还验证了一些完全平方数,还没发现有这一现象...问题...