在△ABC中,已知a比b长2,b比c长2,且最大角的正弦值是32,则△ABC的面积是( ) A.154 B.1532 C.214 D.1534
题目
在△ABC中,已知a比b长2,b比c长2,且最大角的正弦值是
,则△ABC的面积是( )
A.
B.
C.
D.
答案
∵在△ABC中,a比b长2,b比c长2,
∴a=b+2,c=b-2,可得a是最大边,角A是最大角.
又∵最大角的正弦值是
,
∴sinA=
,
结合A是△ABC的最大内角,可得A=120°.
根据余弦定理a
2=b
2+c
2-2bccosA,
得(b+2)
2=b
2+(b-2)
2-2b(b-2)cos120°,
即(b+2)
2=b
2+(b-2)
2+b(b-2),
整理得b
2-5b=0,解得b=5(0舍去).
∴c=b-2=3,
可得△ABC的面积S=
bcsinA=
×5×3×
=
.
故选:D
根据题意可得边a是最大边,角A是最大角,由sinA=
算出A=120°.根据余弦定理a
2=b
2+c
2-2bccosA的式子建立关于b的方程,解出b=5,进而得到c=3,利用三角形面积公式S=
bcsinA,即可算出△ABC的面积.
正弦定理.
本题已知三角形三条边的关系与最大角的正弦值,求三角形的面积.着重考查了三角形的面积公式、已知三角函数求角和余弦定理等知识,属于中档题.
举一反三
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