设p、q是两个奇数,试证方程x2+2px+2q=0不可能有有理根.
题目
设p、q是两个奇数,试证方程x2+2px+2q=0不可能有有理根.
答案
①首先,方程的根不可能是奇数;若x为奇数,则x2为奇数,而2px+2q 是偶数,因此x2+2px+2q取奇数值,不可能是0;
②其次,方程的根不可能是偶数;若x为偶数,则x2+2px能被4整除,而这时常数项2q被4除时余2,因此不能满足x2+2px+2q≠0;
③最后,方程的根不可能是分数;若x为分数,则x+p也是分数,而方程可以变为(x+p)2=p2-2q,等号右端的p2-2q是一个整数,左端是一个分数,这是一个矛盾!
综上可知,当p,q是两个奇数时,方程x2+2px+2q=0不可能有有理根.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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