设f（x）在x=0的某领域内二阶可导，且limx→0(sin3x/x3+f(x)x2)=0，求f（0），f′（0），f″（0）及limx→0f(x)+3x2．

因为：

lim

x→0

(

sin3x

x3

+

f(x)

x2

)＝

lim

x→0

sin3x+xf(x)

x3

＝

lim

x→0

sin3x x +f(x)

x2

＝0，
所以：

lim

x→0

(

sin3x

x

+f(x))＝0．
又：f（x）在x=0的某领域内二阶可导，
所以：f（x），f′（x）在x=0连续，
从而：f（0）=-3．
由

lim

x→0

sin3x x +f(x)

x2

＝0，
得：

lim

x→0

sin3x x −3+f(x)+3

x2

＝0，
又易知：

lim

x→0

3− sin3x x

x2

＝

lim

x→0

3x−sin3x

x3

＝

lim

x→0

3−3cos3x

3x2

=

lim

x→0

3sin3x

2x

＝

9

2

，
故：

lim

x→0

f(x)+3

x2

＝

9

2

，
从而：f′(0)＝

lim

x→0

f(x)−f(0)

x−0

＝

lim

x→0

f(x)+3

x

＝

lim

x→0

x•

f(x)+3

x2

＝0×

9

2

＝0，
将f（x）在x=0处泰勒展开，并由

lim

x→0

f(x)+3

x2

＝

9

2

得：

lim

x→0

f(0)+f′(0)x+ 1 2! f″(0)x2+0(x2)+3

x2

＝

9

2

，
计算得：

1

2

f″(0)＝