有一圆与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程.
题目
有一圆与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程.
答案
设圆的圆心为C(a,b),半径为r,则圆的方程为(x-a)
2+(y-b)
2=r
2.
∵直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),∴点A(3,6)在圆上,且AC⊥l,
可得(3-a)
2+(6-b)
2=r
2,…①
由直线l的斜率为
,可得
•=−1…②
又∵点B(5,2)在圆上,可得(5-a)
2+(2-b)
2=r
2,…③
∴联解①②③,可得a=5、b=
、r=
.
因此所求圆的方程为(x-5)
2+(y-
)
2=
.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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