对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

题目

对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)
（1）若a=1,b=–2时,求f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围；

答案

1）若a=1,b=–2时,f(x)=x^2-x-3
则f（x0）=x0,得x0^2-2x0-3=0,得x0=3或x0=-1
即f(x)的不动点为x0=3或x0=-1.
2）、f（x0）=x0,则ax^2+(b+1)x0+b-1=x0
得,ax^2+bx0+b-1=0
函数f(x)恒有两个相异的不动点,则delta=b^2-4a(b-1)>0
b^2-4ab+4a>0,则（b-2a)^2-4a^2+4a>0
对于b为任意实数,4a-4a^2>0,
a(a-1)<0
即0所以a的取值范围为（0,1）