在11,111,1111,11111.中,任何一个数都不是任意一个数的平方数,请说明为什么.

题目

在11,111,1111,11111.中,任何一个数都不是任意一个数的平方数,请说明为什么.
不要方程,好的加30分!

答案

任意一个数的平方数被4除必然余0或1.
因为对对任意自然数要么是奇数2K+1、要么是偶数2K：
(2K+1)² = 4K² + 4K + 1 = 4(K² + K) + 1
(2K)² = 4K²
而根据被4整除的判定方法：
111……11 = 111……00 + 11
被4除的余数,总等价于11被4除的余数3.
因此,11……11形式的数【超过1个1】不可能为某数的平方数.