如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB． （1）求证：PE=PD； （2）PE⊥PD．

题目

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．

（1）求证：PE=PD；
（2）PE⊥PD．

答案

证明：（1）①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）．
∴PE=PD；
（2）∵△EFP≌△PGD，
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．
∴∠DPE=90度．
∴PE⊥PD．
证法二
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC （SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
又∵PB=PE，
∴PE=PD；
（2）∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．