在数列{an}中，a1=3，an+1=3an+3n+1．（1）设bn=an3n．证明：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．

题目

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹．
（1）设b

答案

（1）a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹，
∴

an+1

3n+1

=

an

3n

+1，于是b_n+1=b_n+1，
∴{b_n}为首项与公差均为1的等差数列．
又由题设条件求得b₁=1，故b_n=n，
由此得

an

3n

=n
∴a_n=n×3ⁿ．
（2）S_n=1×3¹+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ，
3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
两式相减，得2S_n=n×3ⁿ⁺¹-（3¹+3²+…+3ⁿ），
解出Sn=(

n

2

-

1

4

)3n+1+

3

4

．