已知函数f(x)=loga[(a的x次方)-1](a>0且a≠1)
题目
已知函数f(x)=loga[(a的x次方)-1](a>0且a≠1)
1、求函数f(x)的定义域
2、讨论函数f(x)的单调性
3、x为何值时,函数值大于1
答案
1、
根据题意:a^x-1>0,即a^x>1必成立
当0<a<1时,a^x>1,解得:x<0,即函数定义域为(-∞,0)
当a>1时,a^x>1,解得:x>0,即函数定义域为(0,+∞)
2、判断单调性,也需要分类讨论
当0<a<1时,外函数logax是减函数,内函数1-a^x是增函数(因为a^x是减函数,前面增加负号,就是增函数) ,合起来就是减函数
因此,当0<a<1时,f(x)=loga(1-a^x)是减函数
当a>1时,外函数logax是增函数,内函数1-a^x是增函数(因为a^x是增函数,前面增加负号,就是减函数) ,合起来就是减函数
因此,当a>1时,f(x)=loga(1-a^x)是减函数
2、f(x)>1,即loga(a^x-1)>1
①当0<a<1时,0<a^x-1<a,1<a^x<1+a
所以loga(1+a)<x<0
②当a>1时,a^x-1>a,a^x>1+a
即:x>loga(1+a)
综上:当0<a<1,且loga(1+a)<x<0时,函数值大于1 ;
当a>1,且x>loga(1+a)时,函数值大于1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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