在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点E为PB的中点.求E到平面PCD的距离

题目

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点E为PB的中点.求E到平面PCD的距离

答案

取PA的中点F,连接EF,过点F作FO⊥PD交PD于O,
因为点E为PB的中点,ABCD是正方形
所以EF∥AB∥CD,所以EF∥面PCD,
所以点E到平面PCD的距离=点F到平面PCD的距离,
因为PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,
因为CD⊥AD,
所以CD⊥面PAD,
所以CD⊥FO,
因为FO⊥PD,
所以FO⊥面PCD,
所以点F到平面PCD的距离为FO,
易得三角形PFO∽三角形PDA,
所以PF/PD=FO/AD,
解得FO=根号2/2,即E到平面PCD的距离为根号2/2