数列an是等差数列,Sn是它的前n项和,且a3=5,S3=9,

题目

数列an是等差数列,Sn是它的前n项和,且a3=5,S3=9,
(1) 求首项a1和公差d及Sn
(2) 若存在数列bn使得a1b1+a2b2+……+anbn=5+(2n-3)2^(n-1),对任意正整数n都成立,求数列bn的钱n项和An

答案

(1).由已知：a3=a1+2d=5,S3=a1+a2+a3=2a1+d+5=9,即2a1+d=4,上述两式联立可得：a1=1,d=2.所以：an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1.Sn=(a1+an)n/2=(1+2n-1)n/2=n^2.
(2).由题意,n=1时,a1b1=5+(2*1-3)2^(0)=5+(-1)=4,b1=4/a1=4；
a1b1+a2b2+……+anbn=5+(2n-3)2^(n-1),
a1b1+a2b2+……+an-1bn-1=5+(2n-5)2^(n-2),【注：n=n-1时】
上述两式相减得：anbn=(2n-3)2^(n-1)-(2n-5)2^(n-2)=(2n-1)2^(n-2).
而an=2n-1,可见bn=2^(n-2),而b1=4不符合上式,所以bn是一个除首项外,以第二项b2=1为首项,2为公比的等比数列.其前n项和：
An=b1+b2+...+bn=4+1+2+2^2+...+2^(n-2)=4+(1-2^(n-1))/(1-2)=2^(n-1)+3.