已知二次函数f(x)满足f(x-2)=f(2-x),且f(x)=0的两个实根的平方和为10,图像过（0,3)点,求f(x)

题目

已知二次函数f(x)满足f(x-2)=f(2-x),且f(x)=0的两个实根的平方和为10,图像过（0,3)点,求f(x)
满足f(x+2)=f(2-x)，打错了一点

答案

设二次函数为 f(x)=ax²+bx+c
由f(x+2)=f(2-x)可知,对称轴-b/(2a)=2 , 即 4a+b=0 .(1)
根与系数关系：x1+x2=-b/a , x1x2=c/a
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2 即 10=(-b/a)²-2c/a
亦即 10a²-b²+2ac=0.(2)
图像经过点（0,3)代入可得 c=3.(3)
联立(1)(2)(3)式可解得 a=1 , b=-4 , c=3
所以 f(x)=x²-4x+3 即为所求