如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC与BD相交于点O,∠BOC= 120°,AD=2,BC=4. 求:等腰梯形ABCD的面积.
题目
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC与BD相交于点O,∠BOC=
120°,AD=2,BC=4.
求:等腰梯形ABCD的面积.
答案
过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F,
∵AD∥BC,
∴∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°,
∴四边形AEFD是矩形,
∴EF=AD=2,
在Rt△AEB和Rt△DFC中,
,
∴Rt△AEB≌Rt△DFC(HL),
∴BE=FC=
(BC-AD)=1,
∴EC=3,
∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,
∴∠ABC=∠DCB,
在△ABC与△DCB中,
,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴∠ACB=∠DBC,
∵∠BOC=120°,
∴∠ACB=30°,
∴AE=EC•tan∠ACE=3×
=
,
∴S
梯形ABCD=
(AD+BC)•AE=
×(2+4)×
=3
.
首先过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F,即可得四边形AEFD是矩形,则可求得BE与EC的长,根据SAS证得△ABC≌△DCB,即可求得∠ACE的度数,然后即可求得高AE的长,则可求得等腰梯形ABCD的面积.
等腰梯形的性质.
此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及三角函数等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,掌握数形结合思想的应用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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