已知函数fx=ax+（a-1）/x,gx=lnx

题目

已知函数fx=ax+（a-1）/x,gx=lnx
1,若对任意的实数a,函数fx与gx的图像在x=x0 处的切线斜率总相等,求x0的值
2.若a>0.对任意x>0.不等式fx-gx>=1恒成立,求实数a的取值范围

答案

1.        f'(x0)=a-(a-1)/x0² g'(x0)=1/x0 令f'(x0)=g'(x0) 得：a-(a-1)/x0²=1/x0 观察这个式子可以知道 当x0=1的时候式子恒成立（和a没关系）所以 x0=1
2.        设h(x)=f(x)-g(x)-1=ax+（a-1）/x-lnx-1 
则h'(x)=a-(a-1)/x0²-1/x0=(ax0²-x0-a+1)/x0²=[ax0-(1-a）]（x0-1）/x0²
所以h'(x)=0的两个根分别为1/a-1和1