已知非零实数xyz,1/x,1/y,1/z成等差数列,且,x,y,z按照一定次序可成等差数列,探求恒有 x=y=z成立的条件

题目

已知非零实数xyz,1/x,1/y,1/z成等差数列,且,x,y,z按照一定次序可成等差数列,探求恒有 x=y=z成立的条件

答案

1/x,1/y,1/z成等差数列,且,x,y,z按照一定次序可成等差数列
按照这个条件可的两个式子
①2/y=1/x+1/z
②2y=x+z (说是按照一定次序,但根据①只有这一种）
①*②就有
x/z+z/x=2
首先假设x,z同号,由基本不等式可知x/z+z/x≥2当且仅当x=z
再由②可知
2y=x+z=2x
∴y=x=z
如果x,z异号,那么两个负数相加断然不会是2.
综上x=y=z恒成立