分段函数求导问题

题目

分段函数求导问题

答案

第一步,先求f(x)在x=0处的极限
=lim (x→0) ((1+x)-1)/(x·(√(1+x)+1) )
=lim 1/(√(1+x)+1)
=1/2
=f(0)
极限与函数值相等,说明f(x)在x=0处连续.
第二步,判断可导性
由于函数f(x)=(√(1+x)-1)/x 是由初等函数构造而成的,因此其左右导数都存在.
其导数的形式为
f'(x)=[(√(1+x)-1)/x]'=[1/(√(1+x)+1)]'= -(1/(2(√(1+x) ) )/(√(1+x)+1)² =(-1/2)·[√(1+x) + 2 + 1/√(1+x) ]
则f'(x) (x→0+) = f'(x) (x→0-) = -2
左右导数都存在且相等,则在该处导数存在.
第三步,再判断二阶导数.
令√(1+x)=t,则f'(x)=f'(1+x-1)=f'(t²-1)=(-1/2)·(t+2+1/t)
则f''(x)=d f'(x) /dx
=[d f'(x)/dt]·[dt/dx]
=[1-1/t²]·[1/(2(√(1+x) )]
=[1-1/(1+x)]·[1/(2(√(1+x) )]
∴当x=0时,可得f''(0)=0
二阶导数存在.
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