设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α．

题目

设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α．

答案

证明：连接BC、AD，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME是△BAC的中位线，
故ME∥AC，ME⊄α，∴ME∥α．
同理可证，NE∥BD．又α∥β，
设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，
∴NE∥CF．而NE⊄平面α，CF⊂α，∴NE∥α．
又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，
而MN⊂平面MNE，∴MN∥平面α．