证明方程x^3-3x=1在(1,2)内至少有一个实根

题目

证明方程x^3-3x=1在(1,2)内至少有一个实根

答案

证明：设f(x)=x^3-3x-1,则f'(x)=3x^2-3
∵x>1, ∴x^2>1, ∴3x^2-3>0
即f'(x)>0, ∴函数f(x)在(1,2)上单调递增
而f(1)=-10
∴f(x)至少与x轴有一个交点
即方程x^3-3x=1在(1,2)内至少有一个实根
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