如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=6,AD=3,点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B

题目

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=6,AD=3,点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B
射线ME交AB于点E 射线MF交腰CD于点F,连接EF 1 求证：△MEF∽△BEM
2 若△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长
3 若EF⊥CD,求BE的长

答案

1.证明:∵AB=CD.
∴梯形ABCD为等腰梯形,∠B=∠C;
又∠EMF=∠B,则:∠CMF=180度-∠EMF-∠BME=180度-∠B-∠BME=∠BEM.
∴⊿CMF∽⊿BEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE.
∵MF/EM=BM/BE;∠EMF=∠B.
∴△MEF∽△BEM.
2.当BM=BE=3时:MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.
∴EF∥BC;又BE=3=AB/2.故EF为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2;
当ME=BM=3时:∠MEB=∠B=∠C=∠FMC.
连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM平行BM,则四边形ABMD为平行四边形.
∴∠DMC=∠B=∠FMC,即F与D重合,此时EF=CD=6.
3.【 估计应该是:EF⊥CE.】
∵EF⊥CF;∠CFM=∠BME=∠EFM.
∴∠EFM=45°=∠BME.
作EG⊥BM于G,则EG=GM;作AH⊥BM于H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=√(AB²-BH²)=3√15/2.
设EG=GM=X,则BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(3√15/2),X=(45-3√15)/14.
BE/BA=EG/AH,即BE/6=[(45-3√15)/14]/(3√15/2),BE=(6√15-6)/7.