抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)点B(3,0),其开口向上,点C是抛物线与y轴的交点,且OC=3OA.(1)求抛物线的解析式;(2)如图①,将抛物线x轴下方的部分沿x轴对折交y轴于点C,若
题目
抛物线y=ax
2+bx+c过点A(-1,0)点B(3,0),其开口向
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上,点C是抛物线与y轴的交点,且OC=3OA.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,将抛物线x轴下方的部分沿x轴对折交y轴于点C,若直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个,求b的取值范围;
(3)如图②,过点B作BD⊥x轴,交AC的延长线于点D,设点C的上方有一点P(0,t),且△PAD的面积为15,若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与△PAD总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
答案
(1)∵抛物线y=ax
2+bx+c过点A(-1,0)点B(3,0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3),
∵OC=3OA,
∴C点的坐标为(0,-3),
把C的坐标代入y=a(x-1)(x-3),
解得a=1,
∴y=x
2-2x-3;
(2)由题意可知翻折后的抛物线的解析式为y=-x
2+2x+3,
①当直线过(3,0)时,b=3,当直线过(-1,0)时,b=-1,
∴当-1<b<3时,直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个;
②由
得:x2-3x+b-3=0,
∵直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个,
∴△=9-4(b-3)=0,
∴b=
,
综上可知以及结合图形可知当-1<b<3时或b>
时,直线和曲线有两个交点;
(3)设直线AC的解析式为:y=kx+b,
则
,
解得
,
∴y=-3x-3,
当x=3时,y=-12,
∴D(3,-12)
∴(t+3)×4=15,
∴t=
,
即P的坐标为(0,
),
设平移后的抛物线解析式为y=(x-1)
2+m,
则当抛物线过点P时,
=(0-1)
2+m,
解得m=
,此时抛物线向上平移了
个单位,
当抛物线过D点时,-9=(-3+1)
2+m,
解得m=-13,
又因为-12=(3-1)
2+m,解得m=-16,此时抛物线向下平移了12个单位,
综上可知抛物线最多向上平移
个单位,向下最多平移12个单位.
(1)因为抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)点B(3,0),所以可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3),由条件OC=3OA可知C的坐标为(0,-3),代入解析式y=a(x-1)(x-3)求出a的值即可;
(2)首先求出翻折后的抛物线的解析式,若直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个则当直线介于A,B之间可求出b的范围或联立两个解析式组成的方程组有解也可以求出b的取值范围;
(3)设直线AC的解析式为:y=kx+b,把A,C点的坐标分别代入求出直线的解析式,进而求出P点的坐标,若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与△PAD总有公共点,则可求出向上和向下时的m的最值即可.
二次函数综合题.
本题考查了用待定系数法求出二次函数和一次函数的解析式,一次函数和二次函数交点的个数以及二次函数的平移,题目的综合性不小,难度中等.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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