已知数列{an}的前n项和为Sn,且 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若p,q,r是三个互不相等的正整数,且p,q,r成等

已知数列{an}的前n项和为Sn,且 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若p,q,r是三个互不相等的正整数,且p,q,r成等

题目
已知数列{an}的前n项和为Sn,且 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若p,q,r是三个互不相等的正整数,且p,q,r成等差数列,试判断ap-1,aq-1,ar-1是否成等比数列?并说明理由.
答案
(1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,
∴当n=1时,有 a1=(1-1)S1+2,解得 a1=2.…(1分)
由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,①
得a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=nSn+1+2(n+1),②…(2分)
②-①得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2.③…(3分)
以下提供两种方法:
法1:由③式得:(n+1)(Sn+1-Sn)=nSn+1-(n-1)Sn+2,
即Sn+1=2Sn+2;                                                …(4分)
∴Sn+1+2=2(Sn+2),…(5分)
∵S1+2=a1+2=4≠0,
∴数列{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.
∴Sn+2=4×2n-1,即Sn=4×2n-1-2=2n+1-2.…(6分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n,…(7分)
又a1=2也满足上式,
∴an=2n.…(8分)
法2:由③式得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2=n(Sn+1-Sn)+Sn+2,
得an+1=Sn+2.④…(4分)
当n≥2时,an=Sn-1+2,⑤…(5分)
⑤-④得:an+1=2an.…(6分)
由a1+2a2=S2+4,得a2=4,
∴a2=2a1.…(7分)
∴数列{an}是以a1=2为首项,2为公比的等比数列.
∴an=2n…(8分)
(2)∵p,q,r成等差数列,
∴p+r=2q.…(9分)
假设ap-1,aq-1,ar-1成等比数列,
则(ap-1)(ar-1)=(aq−1)2,…(10分)
即(2p-1)(2r-1)=(2q-1)2
化简得:2p+2r=2×2q.(*)        …(11分)
∵p≠r,
∴2p+2r>2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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