数列an,满足Sn=n^2+2n+1,设bn=an*2^n,求bn的前n项和Tn

题目

数列an,满足Sn=n^2+2n+1,设bn=an*2^n,求bn的前n项和Tn

答案

由Sn=n²+2n+1易得
a1=4 （当n=1）
an=2n-1 （当n≥2）
所以
b1=8 （当n=1）
bn=（2n-1）*2^n
Tn=8+3*2^2+5*2^3+7*2^4+...+(2n-1)*2^n
2Tn=16+ 3*2^3+5*2^4+...+(2n-3)*2^n+(2n-1)*2^(n+1)
两式相减得
Tn=8-12-2（2^3+2^4+2^5+...+2^n)+(2n-1)*2^(n+1)
化简得
Tn=（2n-1)*2^(n+1)-2^(n+2)+12
等比数列和等差数列相乘的时候,可用错位相减法