设A为n阶矩阵,若存在正数k,是线性方程组A^kX=0有解向量α,且A^k-1α≠0.证明:向量组α,Aα,…,A^k-1α线性相关”

题目

设A为n阶矩阵,若存在正数k,是线性方程组A^kX=0有解向量α,且A^k-1α≠0.证明:向量组α,Aα,…,A^k-1α线性相关”

答案

设有常数m1,m2..mk 使得m1a+m2Aa+,mkA^(k-1)a=0
上式乘以A^(k-1) 有m1A^(k-1)a=0 (A^ka=0 则对任意l>=k,A^(l)a=0)
A^k-1α≠0所以m1=0
再乘以A^(k-2)可以推出m2=0
依次下去得出m1=m2=...mn=0
所以线性无关