已知:如图,▱ABCD中,AD=2AB,将CD向两边分别延长到E,F使CD=CE=DF.求证:AE⊥BF.

已知:如图,▱ABCD中,AD=2AB,将CD向两边分别延长到E,F使CD=CE=DF.求证:AE⊥BF.

题目
已知:如图,▱ABCD中,AD=2AB,将CD向两边分别延长到E,F使CD=CE=DF.求证:AE⊥BF.
答案
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABH=∠F,
∵CD=CE=DF,
∴AB=DF,
在△ABH和△DFH中,
∠ABH=∠F
∠AHB=∠DHF
AB=DF

∴△ABH≌△DFH(AAS),
同理:△ABG≌△ECG,
∴AH=DH,BG=CG,
∵AD=2AB,
∴AH=AB=BG,
∴∠ABH=∠AHB,∠BAG=∠AGB,
∵∠CBH=∠AHB,∠DAG=∠AGB,
∴∠BAG=∠DAG,∠ABH=∠CBH,
∵∠DAB+∠ABC=180°,
∴∠BAG+∠ABH=90°,
∴AE⊥BF.
由▱ABCD中,CD=CE=DF,易证得△ABH≌△DFH(AAS),△ABG≌△ECG,又由AD=2AB,可得△ABH与△ABG是等腰三角形,继而可得AG与BH是角平分线,即可证得结论.

平行四边形的性质.

此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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