在空间四边形ABCD中,AB垂直于CD,BC垂直于AD,求证:AC垂直于BD

题目

在空间四边形ABCD中,AB垂直于CD,BC垂直于AD,求证:AC垂直于BD

答案

连结BC,AD.设A在面BCD上的射影为O.连结BO,CO,DO.
则∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.
而BO在平面ABO内,∴BO⊥CD.
同理,DO⊥BC.因此,O是△BCD的垂心,因此有
CO⊥BD.
∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.
而AC在平面AOC内,∴BD⊥AC.