设函数f（x）=（m+1）x2-mx+m-1． （1）若方程f（x）=0有实根，求实数m取值范围； （2）若关于x不等式f（x）＞0解集为∅，求实数m取值范围．

题目

设函数f（x）=（m+1）x²-mx+m-1．
（1）若方程f（x）=0有实根，求实数m取值范围；
（2）若关于x不等式f（x）＞0解集为∅，求实数m取值范围．

答案

（1）若m+1=0，即m=-1时，f（x）=x-2，f（x）=0有实根；
若m+1≠0，即m≠-1时，由△=m²-4（m+1）（m-1）≥0，
解得-

2 3

3

≤m≤

2 3

3

且m≠-1，
综合得m取值范围是[-

2 3

3

，

2 3

3

]．
（2）（m+1）x²-mx+m-1＞0
当m+1=0，由（1）可知：f（x）=x-2＞0的解集不是∅，不合题意，应舍去；
当m+1≠0，由关于x不等式f（x）＞0解集为∅，可得

m+1＜0 △=m2-4(m+1)(m-1)≤0

解得m≤-

2 3

3

．
综合可得：m的取值范围是(-∞，-

2 3

3

]．

（1）对m+1分类讨论：m+1=0时，直接解出；m+1≠0时，△≥0即可解出；（2）分类讨论：m+1=0不合题意．当m+1≠0，由关于x不等式f（x）＞0解集为∅⇔m+1＜0△=m2-4(m+1)(m-1)≤0，解出即可．

本题考点：一元二次不等式的解法；函数的零点．

考点点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题．