已知a,b都是正整数,试问关于x的方程x2−abx+1/2(a+b)=0是否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明.
题目
已知a,b都是正整数,试问关于x的方程x
答案
关于x的方程
x2−abx+(a+b)=0有两个整数解.
不妨设a≤b,且方程的两个整数根为x
1,x
2(x
1≤x
2),而a,b都是正整数,
∴x
1+x
2=ab>0,x
1x
2=
(a+b)>0,
∴如果原方程存在两整数根,则两根必为正整数.
当a,b 中至少有一个等于1时,a+b≥ab;
不妨设a=1,此时有
(a+b)=
(1+b)≤b=ab (当且仅当b=1时等号成立),
其余情况下都有
(a+b)<a+b≤ab;
∴x
1x
2≤x
1+x
2,
∴x
1x
2-x
1-x
2+1≤1,
∴(x
1-1)(x
2-1)≤1,
∴x
1=1,
∴x
2=
(a+b),
∴1+
(a+b)=ab,即2+a+b=2ab,
∴(a-1)(b-1)=3-ab,而a,b都是正整数,
∴3-ab≥0,
所以a=1,b=3,或a=3,b=1.
∴x
2=2,
∴a=1,b=3,一元二次方程为x
2-3x+2=0,它的两个根为x
1=1,x
2=2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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