有一个自然数，它与160的和等于某一个数的平方，它与84的和又等于另一个数的平方，那么，这个自然数是_．

题目

有一个自然数，它与160的和等于某一个数的平方，它与84的和又等于另一个数的平方，那么，这个自然数是______．

答案

设这个自然数为x，它与160的和是m的平方．与84的和是n的平方，所以有：
x+160=m²，x+84=n²，
m²-n²=（m-n）×（m+n）=76，
因为m-n和m+n奇偶性相同，76是偶数，所以m-n和m+n都是偶数，且76分解为两个偶数的乘积只有76=2×38，所以：
（m-n）（m+n）=2×38=（20-18）×（20+18）
m=20，n=18．
所以x+160=20²，x=240．
故答案为：240．