lim x->0 (e^x-e^sinx)/x^3 等价无穷小的代换查了很多把我搞晕了,有人说等价无穷小只能做乘除不能

题目

lim x->0 (e^x-e^sinx)/x^3 等价无穷小的代换查了很多把我搞晕了,有人说等价无穷小只能做乘除不能
加减,晕了!假如e^x 可以约等于 1+x e^sinx可以约等于 1+sinx 那么 sinx不是还和x是等价无穷小 e^sinx e^x 当然这样上面就是0了而不是极限是0...把我将明白再加分

答案

lim x->0 (e^x-e^sinx)/x^3=lim x->0 e^sinx(e^x-sinx -1)/x^3=lim x->0(e^x-sinx -1)/x^3=lim x->0（x-sinx)/x^3=1/6（sinx的泰勒公式或者罗比达法则）
告诉你让你计算极限时千万不要用约等于,所谓的约等于是在泰勒公式的基础上得来的,舍去了高阶无穷小.列如sinx=x-1/6 x^3+o(x^3)把后面两项去掉之后就得来了你所谓的约等于,是不能用约等于的