设P（x,y）是曲线C：｛x=-2+cosθ ,y=sinθ ｝（θ 为参数,0≤θ ＜π）上任意一点,则y/x的取值范围是

题目

设P（x,y）是曲线C：｛x=-2+cosθ ,y=sinθ ｝（θ 为参数,0≤θ ＜π）上任意一点,则y/x的取值范围是

答案

为了求解方便,设t=y/x
∵x=-2+cosθ ,y=sinθ
∴t=sinθ/(-2+cosθ)
==>tcosθ-2t=sinθ
==>2t=tcosθ-sinθ
==>2t/√(t²+1)=tcosθ/√(t²+1)-sinθ/√(t²+1)
令sina=t/√(t²+1),则cosa=1/√(t²+1)
∴2t/√(t²+1)=sinacosθ-cosasinθ
=sin(a-θ)
∵│sin(a-θ)│≤1
∴2│t│/√(t²+1)≤1
==>2t/√(t²+1)≤1
==>4t²≤t²+1
==>3t²≤1
==>-√3/3≤t≤√3/3
故y/x的取值范围是[-√3/3,√3/3].