设椭圆x24+y2＝1的焦点为点F1，F2，点P为椭圆上的一动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围．

题目

设椭圆

x2

4

+y2＝1的焦点为点F₁，F₂，点P为椭圆上的一动点，当∠F₁PF₂为钝角时，求点P的横坐标的取值范围．

答案

设p（x，y），则 F1(-

3，0

)，F2(

3

，0)，
且∠F₁PF₂是钝角
⇔P

F

2 1

+P

F

2 2

<F1

F

2 2

⇔(x+

3

)2+y2+(x-

3

)2+y2<12
⇔x²+3+y²<6
⇔x2+(1-

x2

4

)<3
⇔x2<

8

3

⇔-

2 6

3

<x<

2 6

3

．
故点P的横坐标的取值范围x∈(-

2 6

3

，

2 6

3

)

设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F₁PF₂是钝角推断出PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式，∠F₁PF₂是钝角推断出PF₂¹+PF₂²＜F₁F₂²，是解题关键．