高一数学立体几何证明题

题目

高一数学立体几何证明题
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设E是棱CC1的中点.
1.求证：BD垂直于AE
2.求证：AC平行于B1DE
3.求三棱锥A-B1DE的体积
第二问EH怎么平行于AC了，不懂

答案

1,证明:BD垂直于AC,BD垂直于CC1.所以BD垂直于面ACC1A1.又因为AE在面ACC1A1内,所以BD垂直于AE
2,证明:延长DE,与D1C1相交于F点(你自己画个图对照一下).根据相似三角形,D1C1=C1F.根据图形可知A1C1平行于B1F,而A1C1平行于AC.所以AC平行于B1F.又因为B1F在面B1DE内,所以AC平行于面B1DE.
3,解:建立立体直角坐标系O-XYZ.
A=(0,2,2) D=(2,2,2) E=(2,0,1) B1=(0,0,0)
AD向量=(2,0,0) AB1向量=(0,-2,-2)
设面ADB1的法向量为N=(X,Y,Z)
则:N向量*AD向量=0,N向量*AB1向量=0
2X=0,2Y+2Z=0
令Y=1 则X=O,Y=1,Z=-1
N向量为N=(0,1,-1)
DE向量=(0,-2,-1)
所以E到面AB1D的距离为d=|(N向量*DE向量)/N的模|=(根号2)/2
三角形AB1D是直角三角形,面积S=2*根号2
所以体积为(1/3)*S*d=2/3