已知抛物线P的方程是x2=4y,过直线l:y=-1上任意一点A作抛物线的切线,设切点分别为B、C. (1)证明:△ABC是直角三角形; (2)证明:直线BC过定点,并求出定点坐标.

已知抛物线P的方程是x2=4y,过直线l:y=-1上任意一点A作抛物线的切线,设切点分别为B、C. (1)证明:△ABC是直角三角形; (2)证明:直线BC过定点,并求出定点坐标.

题目
已知抛物线P的方程是x2=4y,过直线l:y=-1上任意一点A作抛物线的切线,设切点分别为B、C.
(1)证明:△ABC是直角三角形;
(2)证明:直线BC过定点,并求出定点坐标.
答案
(1)证明:设A(m,-1),B(x1,y1),C(x2,y2).
∵抛物线P的方程是x2=4y,∴y′=
1
2
x

y1+1
x1−m
=
1
2
x1,∴
1
4
x12+1=
1
2
x12-
1
2
mx1,∴x12-2mx1-4=0.
同理可得,x22-2mx2-4=0,∴x1+x2=2m,x1•x2=-4.
∵KAB•KAC=
1
2
x1
1
2
x2=
1
4
x12
=-1,
∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
(2)证明:BC所在的直线方程为 y-y1=
y1−y2
x12
(x-x1),
化简可得 y-
1
4
x12=
1
4
(x1+x2)(x1-x2),即 y=
1
2
mx+1,
显然,当x=0时,y=1,故直线BC过定点(0,1).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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