任意三角形ABC,分别以AB,AC为斜边作等腰直角三角形ADB和AEC,F 为BC中点,连接DF,EF,求证 DF=EF

题目

任意三角形ABC,分别以AB,AC为斜边作等腰直角三角形ADB和AEC,F 为BC中点,连接DF,EF,求证 DF=EF

答案

分别取AB、AC的中点为M、N.
∵AD⊥BD、AD＝BD、AM＝BM,∴DM＝AB/2、∠DMB＝90°.
∵AE⊥CE、AE＝CE、AN＝CN,∴NE＝AC/2、∠ENC＝90°.
∵M、F分别是AB、BC的中点,∴MF＝AC/2、MF∥AC,∴∠BMF＝∠BAC.
∵N、F分别是AC、BC的中点,∴FN＝AB/2、NF∥AB,∴∠CNF＝∠ABC.
由DM＝AB/2、FN＝AB/2,得：DM＝FN.
由MF＝AC/2、NE＝AC/2,得：MF＝NE.
由∠DMB＝∠ENC＝90°、∠BMF＝∠CNF＝∠ABC,得：∠DMB＋∠BMF＝∠ENC＋∠CNF,
∴∠DMF＝∠FNE.
由DM＝FN、MF＝NE、∠DMF＝∠FNE,得：△DMF≌△FNE,∴DF＝EF.