设p(p≥5）是一个质数,在区间〖1,p-2〗上是否存在一个整数n,使得n^(p-1)-1与（n+1)^(p-1)-1都不能被p^2整除?请证明你的结论.

题目

设p(p≥5）是一个质数,在区间〖1,p-2〗上是否存在一个整数n,使得n^(p-1)-1与（n+1)^(p-1)-1都不能被p^2整除?请证明你的结论.
是

答案

存在
先证明引理：
在区间〖1,p-1〗上是每个n,n^(p-1)-1都被p整除
因为1-1被p整除
所以不妨设当n≤k时引理成立
当n=k+1时
(k+1)^(p-1)-1能被p整除(k+1)^p-1-k能被p整除
(k+1)^p-1-k=k^p+pC1k^(p-1)+.pC(p-1)k+pCp-k-1=k(k^(p-1)-1)+pC1k^(p-1)+.pC(p-1)k
而pCm(m≠0 P)=p(p-1)(p-2).(p+1-m)/(1*2*3*4*.m)
因为p是质数所以pCm能被p整除
所以引理成立
在区间〖1,p-1〗上
(p-n)^(p-1)-1=p^(p-1)-.-(p-1)C(p-2)*p*n^(p-2)+n^(p-1)-1
与p*n^(p-2)+n^(p-1)-1关于p^2同余 所以(p-n)^(p-1)-1 与 n^(p-1)-1至多有一个能被p^2整除
因为1-1被p^2整除
所以(p-1)^(p-1)-1不被p^2整除
若假设命题不成立
则(p-2)^(p-1)-1被p^2整除
则p*2^(p-2)+2^(p-1)-1被p^2整除
因为p是质数
所以p*2^(p-2)+2^(p-1)-1被p^2整除p*2^(p-1)+2^p-2被p^2整除
又因为p*2^(p-1)+2^p-2=p*(2^(p-1)-1)+p+2^p-2
根据引理知p*(2^(p-1)-1)被p^2整除
所以(p-2)^(p-1)-1被p^2整除p+2^p-2被p^2整除
又因为命题不成立
所以((p+1)/2)^(p-1)-1与 ((p-1)/2)^(p-1)-1至少有一个被p^2整除
而((p+1)/2)^(p-1)-1=((p+1)^(p-1)-2^(p-1))/2^(p-1)
因为p是质数
所以((p+1)/2)^(p-1)-1被p^2整除(p+1)^(p-1)-2^(p-1) 被p^2整除
(p+1)^(p-1)-2^(p-1)=p^(p-1)+.+(p-1)p+1-2^(p-1)
所以
((p+1)/2)^(p-1)-1被p^2整除1-2^(p-1)-p被p^2整除
同理
((p-1)/2)^(p-1)-1被p^2整除1-2^(p-1)+p被p^2整除
而
2-2^p-p
2-2^p-2p
2-2^p+2p
至多有一个 被p^2整除(由于p>3)
所以得出矛盾
所以命题成立
所以存在