在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直
题目
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直
于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证:EF//平面PAD; (2)求证:平面PAB垂直于平面PCD.
答案
1、∵E是PC中点,F是AC的中点,
∴EF是△PAC的中位线,
∴EF//PA,
∵PA∈平面PAD,
∴EF//平面PAD,(直线平行于两面内的直线则必平行于该平面).
2、取AD中点M,连结PM,
PM是△PAD的中线,
∵PA=PD=√2a/2,
∴△PAD是等腰△,
∴PM⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PM⊥平面ABCD,(二平面垂直,若一平面内直线垂直交线,则垂直另一平面),
∵CD∈平面ABCD,
∴PM⊥CD,
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴CD⊥AD,
∵AD∩PM=M,
∴CD⊥平面PAD,
∵PA∈平面PAD,
∴CD⊥PA,
在△PAD中,PA^2+PD^2=a^2/2+a^2/2=a^2,
AD^2=a^2,
∴根据勾股定理逆定理,
△PAD是RT△,
∴PA⊥PD,
∵PD∩CD=D,
∴PA⊥平面PDC,
∵PA∈平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PCD,证毕.
![](http://h.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=2ec8520459ee3d6d22938fcd7326411a/5bafa40f4bfbfbedd49177dc78f0f736aec31f4c.jpg)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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