已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足:①∀x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(x•y)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x>0),且f(2)=1.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(3)求函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值;
(4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集.
(1)令x=y=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0;
再令x=y=-1,则f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),得f(-1)=0.
对于条件f(x•y)=f(x)+f(y),令y=-1,
则f(-x)=f(x)+f(-1),所以f(-x)=f(x).
又函数f(x)的定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数.(3分)
(2)任取x
1,x
2∈(0,+∞),且x
1<x
2,则有
>1.
又∵当x>1时,f(x)>0,
∴
f(>0.)而
f(x2)=f(x1•)=f(x1)+f()>f(x1),
所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.(6分)
(3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),又f(2)=1,
∴f(4)=2.
又由(1)知函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数,
∴函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)=f(-4)=2(9分)
(4)∵f(3x-2)+f(x)=f[x(3x-2)],4=2+2=f(4)+f(4)=f(16)
∴原不等式等价于f[x(3x-2)]≥f(16)
又函数f(x)为偶函数,且函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴原不等式又等价于|x(3x-2)|≥16,
即x(3x-2)≥16或x(3x-2)≤-16,
∴不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集为
{x|x≤−2,或x≥}(12分)