设椭圆方程为X^2+Y^2/4=1.过点M(0.1)的直线L交椭圆于点A,B两点,O为坐标原点,P满足OP向量=1/2(OA向量+OB向量),N(1/2,1/2)当L绕M旋转时,求

题目

设椭圆方程为X^2+Y^2/4=1.过点M(0.1)的直线L交椭圆于点A,B两点,O为坐标原点,P满足OP向量=1/2(OA向量+OB向量),N(1/2,1/2)当L绕M旋转时,求
(1)动点P的轨迹方程
我知道xp,yp的表达式,
可是就是不知道该怎么求这参数方程..

答案

p是AB的中点吧,圆锥曲线的弦中点轨迹方程求法如下
设A(x1,y1) B(x2,y2) P(x,y)；
那么x1+x2=2x；y1+y2=2y；
于是
x1²+y1²/4=1
x2²+y2²/4=1
两式相减得到
(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)/4=0；
于是有k=(y1-y2)/(x1-x2)=-4(x1+x2)/(y1+y2)=-4x/y；
另外直线过定点N(0,1)
k=(y-1)/x=-4x/y
所以P点轨迹方程就是y²-y+4x²=0
(y-1/2)²+4x²=1/4 (0,1)点在椭圆内部,就不讨论x,y 的范围了