已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为（-4,0）,（4,0）,C为动点,且满足sinB+sinA=5sinC/4,求点C的轨迹

题目

已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为（-4,0）,（4,0）,C为动点,且满足sinB+sinA=5sinC/4,求点C的轨迹

答案

c=AB=8
sinB+sinA=5sinC/4
由正弦定理知b/2R+a/2R=5/4*c/2R
即a+b=5/4*c=5/4*8=10＞8=AB
即CA+CB＞8=AB
即C到A,B两个定点距离和为定值10,且大于两个定点AB的距离
即C的轨迹是椭圆,2a=10,2c=8,即a=5,c=4,b=根a²-c²=3
C的轨迹方程x²/25+y²/9=1
又A,B,C三点不共线
所以
C的轨迹方程x²/25+y²/9=1（x≠5或x≠-5）