设圆上的点A（2,3）关于直线 x+2y=0的对称点仍在圆上,

题目

设圆上的点A（2,3）关于直线 x+2y=0的对称点仍在圆上,
且圆截直线x-y+1=0所得的弦长为二倍根号二,求圆的方程.

答案

圆上的点A（2,3）关于直线 x+2y=0的对称点仍在圆上
所以可以知道圆心是在直线 x+2y=0上,且圆过点A（2,3）
设圆方程（x-2a)^2+(y+a)^2=r^2
点A（2,3）代入得到（2-2a)^2+(3+a)^2=r^2
5a^2-2a+13=r^2 (1)
又圆截直线x-y+1=0所得的弦长为2√2
直线x-y+1=0斜率是1,所以知道园与直线交点横坐标的差为2,即x2-x1=2
将x-y+1=0代入圆方程
（x-2a)^2+(x+1+a)^2=r^2
2x^2+2(1-a)x+(a+1)^2-r^2=0
(x2-x1)^2=(x2+x1)^2-4x2*x1=(1-a)^2-2*[(a+1)^2-r^2]=4
a^2+6a+5=2r^2 (2)
联立（1）（2）
求出a和r就可以了