圆内接三角形ABC中,AB=AC,D是BC边上一点,E是直线AD和三角形ABC外接圆的交点,AE过圆心O

题目

圆内接三角形ABC中,AB=AC,D是BC边上一点,E是直线AD和三角形ABC外接圆的交点,AE过圆心O
问 证明 1·AB的平方等于AD乘AE
当D为BC延长线上的一点使,1中结论是否成立,如果成立说明理由,不成立也说明理由

答案

1.由AE过圆心,∴AE是直径.由AB=AC,∴AE⊥BC且平分BC.
连BE,∠ABE=90°,由∠A是公共角,
∴△ABD∽△AEB,
AB：AE=AD：AB,
∴AB²=AD×AE正确.
2.当D在BC延长线上（圆外C右边）,
连AD交圆于E（E在弧AC之间）
连BE,由∠ABD=∠CED（同与∠AEC互补）
又∠ABD=∠ACB,∴∠CED=∠ACB,
∴∠ACE=∠ADC,由∠DAC是公共角,
∴△AEC∽△ACD,
得：AC：AD=AE：AC,
AC²=AD×AE,
即AB²=AD×AE结论不变.