高数：设可导函数f(x)满足f(x)cosx+2∫(0~x)f(t)sintdt=x+1,求f(x)

题目

高数：设可导函数f(x)满足f(x)cosx+2∫(0~x)f(t)sintdt=x+1,求f(x)

答案

f(x)cosx+2∫(0~x)f(t)sintdt=x+1
两边求导f′(x)cosx-sinxf(x)+2f(x)sinx=1
即f′(x)cosx+f(x)sinx=1
两边同时除以cos²x,得
[f′(x)cosx+f(x)sinx]/cos²x=1/cos²x
即[f(x)/cosx]′=1/cos²x
两边积分∫(0~x)[f(x)/cosx]′dx=∫(0~x)1/cos²xdx
f(x)/cosx|(0~x)=tanx|(0~x)
f(x)/cosx-f(0)=tanx
在原方程中令x=0
得f(0)=1
那么f(x)/cosx-1=tanx
f(x)=sinx+cosx